دنباله

ریاضی شیرین است

[ و او را گفتند خردمند را براى ما بستاى فرمود : ] خردمند آن بود که هر چیزى را به جاى خود نهد . [ پس او را گفتند نادان را براى ما وصف کن ، گفت : ] وصف کردم . معنى آن این است که نادان آن بود که هر چیز را بدانجا که باید ننهد ، پس گویى ترک وصف ، او را وصف کردن است چه رفتارش مخالف خردمند بودن است . ] [نهج البلاغه]

صفحه نخست

پیام رسان

پست الکترونیک

اوقات شرعی

لوگوی وبلاگ

نویسندگان وبلاگ -گروهی

فائزه خجسته فر(0) لینک دلخواه نویسنده

صفحات اختصاصی

تابع دنباله ها2 دنباله بارم بندی امتحانات پایانی ریاضیات2 بارم بندی ریاضی3رشته ی تجربی وحسابان آیا میدانید ؟ اتحاد ها مجموعه ها ماتریس

آمار و اطلاعات

بازدید امروز :5
بازدید دیروز :2
کل بازدید :23265
تعداد کل یاداشته ها : 5
103/2/17
3:25 ص

مشخصات مدیروبلاگ

علی خجسته فر[2]

خبر مایه

عناوین یادداشتهای وبلاگ

آمازون نقشه اروپا نقشه جهان نقشه راه های کشور عناوین یادداشتها[4]

دنباله

علی خجسته فر

دنباله

در ریاضیات ؛ دُنباله، تابعی است با دامنه ای ازاعداد طبیعی. این توابع، کاربردهای فراوانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر شاخه‌های ریاضیات دارند. گاهی، به فراخور نیاز، نام دنباله تغییر می‌یابد، به عنوان مثال در نظریه تحلیلی اعداد، به دنباله‌ها، تابع حسابی می‌گویند.

تعریف دنباله

دنباله (sequence)، تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد.

$f:\mathbb{N}\to A$

اگر دامنه دنباله قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد، دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی یا زیرمجموعه‌ای نامتناهی از آن باشد، دنباله را نامتناهی می‌گوییم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچک‌تر مساوی 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی

$\mathbb{N}_5=\{1,2,3,4,5\}$

است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر، باید دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با {(f(n} و یا به صورتی معمول‌تر به صورت {f_n} نشان می‌دهیم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت

$\{f_n\}=\{2n\}$

نشان می‌دهیم. همچنین برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی از نماد (f(n و یا معمولاً از نماد f_n استفاده می‌کنیم.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:

$f_1=2,f_2=4,... ,f_n=2n$

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}_e=\{2,4,6,8,... ,2n,... \}$

اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,... ,n,... \}$

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.

به عبارت دقیقتر می‌توان تابع $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_e$ را با ضابطه $\forall n\in \mathbb{N}:f(n)=2n$ تعریف کرد. اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

$f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),... ,(n,2n),... \}$

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، و هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند.

حال در مثالی دیگر تابع $g(x)=(x-3)^2+1$ را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

$g(1)=5,g(2)=2,g(3)=1,g(4)=2,...$

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان متغیر دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد.

نمونه‌های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع f(n)=n² یا $f(n)=\sqrt{n}$ ، که در آنها n عددی طبیعی است.

به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم.

در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.

به عبارت دقیق تر اگر (f(n ضابطه یک دنباله باشد جمله k ام این دنباله را (f(k تعریف می‌کنیم.

در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2در برد که اولین جمله دنباله‌است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می‌شود.

دنباله حقیقی

دنباله {f_n} را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد.

به عنوان مثال دنباله

$\{a_n\}=\{\frac{n+3}{2n-1}\}$

دنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله‌ای حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

91/9/23::: 9:45 ع