یک تابع f از مجموعه ی A به مجموعه ی B ، قانونی است که به هر عضو x در مجموعه ی A دقیقاً یک عنصر y از مجموعه ی B را نسبت دهد . مجموعه ی A دامنه ی تابع f و مجموعه ی B، برد تابع f نامیده می شود.

تابع را معمولاً با نماد  نمایش می دهند که f نام تابع است.

اگر  باشد ، در این صورت x متغیر مستق و y متغیر وابسته است.

دامنه ی یک تابع ، مجموعه ی مقدارهایی است که یک متغیر مستقل می تواند داشته باشد . برد یک تابع ، مجموعه ی مقادیری است که یک متغیر وابسته می تواند داشته باشد.

ضابطه ی یک تابع رابطه ای است بین y,x که معمولاً به صورت (y=f(x آن را نمایش می دهند. مقدار تابع در  برابر است با  . پس برای بدست آوردن آن کافی است که در ضابطه های تابع به جای x،  قرار دهیم.

تعریف تابع از طریق زوج مرتب: مجموعه ای از زوج مرتب ها را تابع گویند که در آن هیچ دو زوج مرتبی مؤلفه های اول یکسان نداشته باشند و اگر دو زوج، مؤلفه های اول یکسان داشته باشند، مؤلفه های دوم آنها نیز باید یکسان باشد.

تشخیص یک تابع از روی نمودار آن: از نظر نموداری به رابطه ای تابع گفته می شود که در آن هر خطی موازی محور y ها رسم شود، نمودار را در بیش از یک نقطه قطع نکند.

منظور از تعیین دامنه ی یک تایع پیدا کردن مقادیری است که x می تواند اختیار کند. برای این محدودیت هایی که شامل x می شود یا به عبارت دیگر مقادیری که x مجاز نیست آن ها را اختیار کند را شناسایی کرده و آن ها را از مجموعه اعداد حقیقی حذف می کنیم. این محدودیت ها بسته به نوع تابع متفاوت است. بدین منظور برای راحتی کار توابع را دسته بندی کرده و سپس مقادیر مجاز و غیر مجاز برای x را معرفی می کنیم.

الف ) توابع چند جمله ای:

این توابع که عموماً یک کثیر الجمله هستند، چون هیچ محدودیتی شامل x نمی شود، دارای دامنه ای برابر با اعداد حقیقی هستند.

ب ) توابع کسری:

این توابع از تقسیم دو چند جمله ای بر هم یا از تقیسم یک عدد بر یک چند جمله ای حاصل می شوند.

برای تعیین دامنه ی این توابع چون مخرج کسر باید مخالف صفر باشد، مقادیری از x که به ازای آنها مخرج کسر برابر صفر می شود را از اعداد حقیقی حذف می کنیم.

برای مثال در تابع  مقادیر را نمی تواند اختیار کند، چون به ازای آن ها مخرج کسر صفر می شود، در نتیجه دامنه ی تابع برابر است با: 

نکته:

هرگاه تابع کسری از تقسیم دو چند جمله ای بر هم حاصل شده بود، ابتدا باید تا حد امکان صورت و مخرج را با هم ساده کرد و سپس دامنه را تعیین کنیم.

برای مثال در تابع  ابتدا به نظر می رسد که x مقادیر 2− و 1+ را نمی تواند اختیار کند، ولی پس از ساده کردن تابع به فرم درمی آید و داریم:

پ ) توابع شامل قدر مطلق و جزء صحیح:

برای تعیین دامنه ی این گونه توابع باید این نکته را بدانیم که قدر مطلق و جزء صحیح هیچ گونه محدودیتی برای x به وجود نمی آورند. یعنی دامنه ی توابع  همان دامنه ی تابع (y = f(x است.

نکته:

هر گاه این گونه توابع با توابع دیگر ترکیب شدند باید بدانیم که دامنه ی تابع تغییر پیدا کرده است لذا برای تعیین دامنه از خواص این توایع و محدودیت تایع دیگری استفاده می کنیم.

به طور مثال برای تعیین دامنه ی تابع  این گونه عمل می کنیم:

ت ) توابع رادیکالی:

تابع یک تابع رادیکالی است که در آن، u عبارت زیر رادیکال و  فرجه ی رادیکال نام دارد. برای تعیین دامنه ی این توابع:

1 ) اگر  عددی فرد بود: آن گاه دامنه ی تایع همان دامنه ی عبارت زیر رادیکال خواهد بود

2 ) اگر  زوج بود: برای معنی دار بودن رادیکال باید عبارت زیر رادیکال بزرگ تر یا مساوی صفر باشد.

مثال:

ج ) توابع مثلثاتی:

در توابع مثلثاتی به فرم y = Sin u و y = Cos u که در آن u تابعی بر حسب x است دامنه ی تابع برابر است با دامنه ی تابع (u (x .

ولی در توابع مثلثاتی به فرم y = tan u و y = Cot u، ابتدا تابع را به فرم Sin و Cos تبدیل کرده و سپس مانند توابع کسری عمل می کنیم.

به طور مثال:

د ) توابع لگاریتمی:

این توابع به فرم  هستند، که در آن (u(x و (v(x توابعی از x هستند.

در تعریف لگاریتم برای معنی دار بودن این عملگر 3 شرط مطرح می شود که عبارتند از:

ملاحظه می شود که این سه شرط به نوعی محدودیت هایی برای x هستند. در نتیجه برای تعیین دامنه ی این توابع این 3 شرط را اعمال می کنیم. به مثال زیر توجه کنید:

ه ) توابع شامل آرک:

در توابع آرکی به فرم Arc Sin u و Arc Cos u که u تابعی از x است با توجه به این که همواره هستند، برای تعیین دامنه ی این توابع شرط زیرا اعمال می کنیم:

اما در توابع آرکی به فرم Arc tan u و Arc Cot u، با توجه به این که tan u و Cot u تمام مقادیر اعداد حقیقی را اختیار می کنن، در نتیجه فقط تابع (u(x می تواند محدودیتی برای x ایجاد کند، بنابراین دامنه ی این توابع برابر است با همان دامنه ی (u(x.

نکته:

در تمام توابعی که در بالا معرفی شد، هرگاه برای x چندین ناحیه مجاز به دست آمد، دامنه ی نهایی تابع برابر است با اشتراک آن چند محدوده.

گوییم تابع f متناوب با دوره ی تناوب  است هرگاه برای هر x در دامنه ی f ،  نیز در دامنه ی fبوده و 

دوره ی تناوب چند تابع معروف :

1ـ نقاط بحرانی: در تابعی با دامنه [a,b] نقاطی از بازه (a,b) که مشتق در آن نقاط صفر باشد و یا وجود نداشته باشد (تابع پیوسته نباشد، مشتق بینهایت باشد، مشتق چپ و راست برابر نباشد) را نقاط بحرانی تابع f گویند.

2-اکسترمم نسبی: تابع f را در  ماکزیمم نسبی گویند هرگاه اولاً  ، ثانیاً تابع در همسایگی  موجود باشد و ثالثاً عرض آن از نقاط در همسایگی، بزرگتر یا مساوی باشد.

تابع f را در مینیمم نسبی گویند هرگاه اولاً  ، ثانیاً تابع در همسایگی  موجود باشد و ثالثاً عرض آن از نقاط در همسایگی، کوچکتر یا مساوی باشد.

نکته 1: هر نقطه تابع ثابت می‌تواند هم ماکزیمم و هم مینیمم نسبی باشد.

نکته 2: نقاط ابتدا و انتهای بازه بسته اکسترمم نسبی هستند.

نکته 3: لزومی ندارد که نقاط اکسترمم نسبی خود پیوسته و یا مشتق‌پذیر باشند.

3ـ اکسترمم مطلق: اگر تابع f با قلمرو [a,b] مفروض باشد، f در بازه [a,b] در  ماکزیمم مطلق است. اگر عرض آن از تمام نقاط این بازه بزرگتر باشد و مینیمم نسبی است هرگاه عرض آن از تمام نقاط بازه کمتر باشد.

نکته 1: یک تابع در یک بازه ممکن است دارای چندین اکسترمم نسبی باشد ولی ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق آن در صورت وجود منحصر به فرد است.

نکته 2: نقطه اکسترمم نسبی می‌تواند نقطه اکسترمم مطلق نیز باشد.

نکته 3: اگر تابع f در نقطه دارای اکسترمم نسبی باشد و  موجود باشد آنگاه  است و این بدین معناست که اگر تابع f در نقطه اکسترمم مشتق‌پذیر بود حتماً خطوط مماس بر نقطه اکسترمم موازی محور xهاست.

نکته 4: نقاط اکسترمم هر تابع نقاط بحرانی تابع نیز هستند.

نکته 5 نقاط ابتدا و انتهای بازه [a,b] نقاط بحرانی نیستند.

نکته 6: در توابع اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی پیوسته، ماکزیمم و مینیمم مطلق در نقاط ابتدا و انتهای بازه خواهد بود.

در مسایل برای تعیین اکسترمم‌های تابع ابتدا از تابع مشتق گرفته و نقاط بحرانی را می‌یابیم، سپس مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و همچنین در نقاط ابتدا و انتهای بازه بدست می‌آوریم. هر کدام بیشترین مقدار را داشت ماکزیمم مطلق و هر کدام کمترین مقدار را داشت مینیمم مطلق خواهد بود.

با توجه به توضیحات بالا و شکل مقابل تابع در نقطه x=0 دارای ماکزیمم نسبی و در نقاط  دارای مینیمم نسبی است.