دنباله ها2

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

به‌ وسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم.

به‌وسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم.

جمله عمومی یک دنباله

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله‌ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند.

جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که به‌وسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت {2n} است که همانند ضابطه تابع به‌وسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام دنباله را بدست آورد.

البته لازم به ذکر است جمله عمومی همه دنباله‌ها را نمی‌توان تعیین کرد.

به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده‌است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه‌ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت. حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می‌توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟

پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

$\{t_n\}=\{3,5,7,... \}$

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهده? جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگ‌تر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{t_n\}=\{2n+1\}$

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد!

چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{a_n\}=\{(n-1)(n-2)(n-3)+2n+1\}$

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

$\{a_n\}=\{3,5,7,15,... \}$

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله {t_n} است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی‌کند.

پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده‌ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی

$\{t_n\}=\{2n+1\}$

برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید:... ,2?4,6?8,10?12

با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می‌گوییم.

تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که به‌وسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف‌ترین این دنباله‌ها می‌توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.

به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که به‌وسیله آن مشخص می‌شود:

$F_1=F_2=1,\forall n>2: F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

که جملات آن به این صورت است:... ,1?1,2?3,5?8,13?21

مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلاً برای محاسبه جمله نهم داریم:

یکنوایی دنباله‌ها

دنباله {a_n} را:

صعودی (نا نزولی) می‌گوییم هرگاه

$a_1\le a_2\le a_3\le...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\ge a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند صعودی بودن دنباله را می‌توان با شرط زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$

نزولی(ناصعودی) گوییم هرگاه

$a_1\ge a_2\ge a_3\ge...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\le a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند نزولی بودن دنباله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1$

دنباله صعودی یا نزولی را یکنوا می‌گوییم.

همچنین دنباله {a_n} را اکیداً صعودی می‌گوییم هرگاه برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}>a_n$

و دنباله را اکیداً نزولی می‌گوییم هرگاه

$a_{n+1}<a_{n}$

یک دنباله را اکیداً یکنوا می‌گوییم هرگاه اکیداً صعودی یا نزولی باشد.

حد دنباله

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنباله‌ها و محاسبه آنها می‌توانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید.

دنباله ی کشی

دنباله ای را کشی نامیم که حد فاصله ی نقاط آن پس از یک عنصر خاص دنباله به صفر میل کند.

$F_9=F_8+F_7=21+13=34$

91/9/23::: 9:44 ع